Mémoires de la Société mathématique de France, n° 183. On the p-adic uniformization of unitary Shimura curves

On démontre l'uniformisation p-adique pour les courbes de Shimura attaché à un groupe de similitudes unitaires pour certains espaces anti-hermitiens V relatifs à un corps CM K, avec sous-corps totalement réel maximal F. Pour une place v|p de F qui n'est pas déploye dans K et pour laquelle la localisation V_v est anisotrope, soit v une extension de v au corps reflex E. On définit un modèle sur Spec O_E,(v) de la courbe de Shimura correspondante en posant un problème de modules de variétés abéliennes avec polarisation et structure de niveau premier à p. La formulation du problème de modules fait intervenir une condition de Kottwitz, une condition d'Eisenstein, et la notion d'un invariant rectifié. L'uniformisation du complété formel de ce modèle le long sa fibre spéciale est donné en termes du démi-plan de Drinfeld formelῶ_Fv pour F_v. La démonstration est basée sur la construction d'un foncteur contractant qui rélie un espace de Rapoport-Zink relatif de O_Fv -modules formels stricts avec un espace de Rapoport-Zink de groupes p-divisibles des variétés abéliennes qui apparaissent dans le problème de modules, pour lesquelles l'action de O_Fv n'est pas stricte en général si F_v # Q_p. Notre outil principal est la théorie des displays, en particulier le foncteur de Ahsendorf.

We prove p-adic uniformization for Shimura curves attached to the group of unitary similitudes of certain binary skew Hermitian spaces V with respect to an arbitrary CM field K with maximal totally real subfield F. For a place v\p of F that is not split in K and for which V_v is anisotropic, let v be an extension of v to the reflex field E. We define an integral model of the corresponding Shimura curve over Spec O_E,(v)by means of a moduli problem for abelian schemes with suitable polarization and level structure prime to p. The formulation of the moduli problem involves a Kottwitz condition, an Eisenstein condition, and an adjusted invariant. The uniformization of the formal completion of this model along its special fiber is given in terms of the formal Drinfeld upper half plane ῶ_Fv for F_v. The proof relies on the construction of the contracting functor which relates a relative Rapoport-Zink space for strict formal O_Fv -modules with a Rapoport-Zink space of p-divisible groups which arise from the moduli problem, where the O_Fv -action is usually not strict when F_v # Q_p. Our main tool is the theory of displays, in particular the Ahsendorf functor.